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P-2400中等Lv.1考研2023考研数学分析厦门大学Toeplitz型极限几何权重
厦门大学 2023 数学分析 例题1.22
考研真题
题目正文

设 0<k<10<k<10<k<1，且 an→aa_n\to aan​→a。证明

lim⁡n→∞(an+kan−1+⋯+kn−1a1+kna0)=a1−k.\lim_{n\to\infty} \left(a_n+ka_{n-1}+\cdots+k^{n-1}a_1+k^na_0\right) =\frac{a}{1-k}.n→∞lim​(an​+kan−1​+⋯+kn−1a1​+kna0​)=1−ka​.

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AMTOPA最近修改：AMTOPA · 2026/07/12 10:22题目评分：暂无
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AMTOPALv.42026/07/15 20:14

令q=1k>0q=\frac{1}{k}>0q=k1​>0，则原极限

=lim⁡n→∞a0+qa1+⋯+qnanqn=Stolzlim⁡n→∞qn+1an+1qn+1−qn=qaq−1=a1−k=\lim_{n\to\infty}\frac{a_0+qa_1+\cdots+q^n a_n}{q^n}\overset{Stolz}{=}\lim_{n\to\infty}\frac{q^{n+1} a_{n+1}}{q^{n+1}-q^n}=\frac{qa}{q-1}=\frac{a}{1-k}=n→∞lim​qna0​+qa1​+⋯+qnan​​=Stolzn→∞lim​qn+1−qnqn+1an+1​​=q−1qa​=1−ka​
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