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P-2466简单考研2023考研数学分析厦门大学Fermat定理中值定理二阶导数估计
厦门大学 2023 数学分析 例题1.77
考研真题
题目正文

设 f∈C2[0,1]f\in C^2[0,1]f∈C2[0,1]，且 ∣f′′(x)∣≤M|f''(x)|\le M∣f′′(x)∣≤M。若 fff 在 (0,1)(0,1)(0,1) 内取得最大值，证明

∣f′(0)∣+∣f′(1)∣≤M.|f'(0)|+|f'(1)|\le M.∣f′(0)∣+∣f′(1)∣≤M.

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AMTOPA最近修改：AMTOPA · 2026/07/12 10:22题目评分：暂无
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AMTOPALv.42026/07/15 20:18

设fff在x=cx=cx=c取得最大值，则f′(c)=0,0<c<1f'(c)=0,0<c<1f′(c)=0,0<c<1.注意到

∣f′(0)∣+∣f′(1)∣=∣f′(0)−f′(c)∣+∣f′(1)−f′(c)∣=∣f′′(ξ1)∣c+∣f′′(ξ2)∣(1−c)≤M|f'(0)|+|f'(1)|=|f'(0)-f'(c)|+|f'(1)-f'(c)|=|f''(\xi_1)|c+|f''(\xi_2)|(1-c)\leq M∣f′(0)∣+∣f′(1)∣=∣f′(0)−f′(c)∣+∣f′(1)−f′(c)∣=∣f′′(ξ1​)∣c+∣f′′(ξ2​)∣(1−c)≤M
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