证明：

1. 若 $f,g$ 在 $[a,b]$ 上可积，则

$$\left(\int_a^b f(x)g(x)\,dx\right)^2 \le\int_a^b f^2(x)\,dx\int_a^b g^2(x)\,dx;$$

2. 若 $f\in C^1[a,b]$ 且 $f(a)=0$，则

$$\max_{x\in[a,b]}|f(x)| \le\sqrt{(b-a)\int_a^b|f'(x)|^2dx};$$

3. 在同样条件下，证明

$$\int_a^b f^2(x)dx \le\frac{(b-a)^2}{2}\int_a^b|f'(x)|^2dx.$$