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P-2492简单考研2023考研数学分析湖南大学Schwarz不等式加权积分三角函数
湖南大学 2023 数学分析 例题1.102
考研真题
题目正文

证明：

  1. 若 f,gf,gf,g 在 [a,b][a,b][a,b] 上可积，则
[∫abf(x)g(x) dx]2≤∫abf2(x) dx∫abg2(x) dx;\left[\int_a^b f(x)g(x)\,dx\right]^2 \le \int_a^b f^2(x)\,dx\int_a^b g^2(x)\,dx;[∫ab​f(x)g(x)dx]2≤∫ab​f2(x)dx∫ab​g2(x)dx;
  1. 利用 Schwarz 不等式证明：若 fff 是 [a,b][a,b][a,b] 上的非负连续函数，且 ∫abf(x) dx=1\int_a^b f(x)\,dx=1∫ab​f(x)dx=1，则对任意实数 kkk，
[∫abf(x)sin⁡kx dx]2+[∫abf(x)cos⁡kx dx]2≤1.\left[\int_a^b f(x)\sin kx\,dx\right]^2 +\left[\int_a^b f(x)\cos kx\,dx\right]^2\le1.[∫ab​f(x)sinkxdx]2+[∫ab​f(x)coskxdx]2≤1.

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AMTOPA最近修改：AMTOPA · 2026/07/12 10:22题目评分：暂无
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