设 $A\in\mathbb R^{n\times n}$，$v_1,\ldots,v_n\in\mathbb R^n$。证明 $Av_1, \ldots,Av_n$ 线性无关的充要条件是 $A$ 可逆且 $v_1, \ldots,v_n$ 线性无关。