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P-2734中等Lv.1考研2023考研哈尔滨工业大学高等代数秩一扰动代数余子式行列式列变换
哈尔滨工业大学 2023 高等代数 例题2.86
考研真题
题目正文

设 A=(aij)n×nA=(a_{ij})_{n\times n}A=(aij​)n×n​，FFF 为全1矩阵，AijA_{ij}Aij​ 表示 aija_{ij}aij​ 的代数余子式。

  1. 证明
∣A+xF∣=∣A∣+x∑i=1n∑j=1nAij;|A+xF|=|A|+x\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n A_{ij};∣A+xF∣=∣A∣+xi=1∑n​j=1∑n​Aij​;
  1. 证明
∑i,j=1nAij=det⁡(1a12−a11a13−a12⋯a1n−a1,n−11a22−a21a23−a22⋯a2n−a2,n−1⋮⋮⋮⋮1an2−an1an3−an2⋯ann−an,n−1).\sum_{i,j=1}^n A_{ij}= \det\begin{pmatrix} 1&a_{12}-a_{11}&a_{13}-a_{12}&\cdots&a_{1n}-a_{1,n-1}\\ 1&a_{22}-a_{21}&a_{23}-a_{22}&\cdots&a_{2n}-a_{2,n-1}\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ 1&a_{n2}-a_{n1}&a_{n3}-a_{n2}&\cdots&a_{nn}-a_{n,n-1} \end{pmatrix}.i,j=1∑n​Aij​=det​11⋮1​a12​−a11​a22​−a21​⋮an2​−an1​​a13​−a12​a23​−a22​⋮an3​−an2​​⋯⋯⋯​a1n​−a1,n−1​a2n​−a2,n−1​⋮ann​−an,n−1​​​.

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AMTOPA最近修改：AMTOPA · 2026/07/12 10:22题目评分：暂无
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