设数域 $P$ 上 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵，$m\ge n$。证明以下命题等价：

1. $r(A)=n$；
2. 存在可逆 $P_{m\times m}$，使

3. 存在 $B_{n\times m}$，使 $BA=I_n$；
4. 对任意 $n\times p$ 矩阵 $C$，有 $r(AC)=r(C)$；
5. 对任意同型矩阵 $C,D$，若 $AC=AD$，则 $C=D$。