设 $F$ 为多项式

$$t^n+a_1t^{n-1}+ \cdots+a_n$$

的 Frobenius 伴随矩阵，即

$$F=\begin{pmatrix} 0&0&\cdots&0&-a_n\\ 1&0&\cdots&0&-a_{n-1}\\ 0&1&\cdots&0&-a_{n-2}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&0&\cdots&1&-a_1 \end{pmatrix}.$$

若 $A=(a_{ij})\in M_n(\mathbb C)$ 且 $AF=FA$，证明

$$A=a_{n1}F^{n-1}+a_{n-1,1}F^{n-2}+ \cdots+a_{21}F+a_{11}I,$$

并求中心化子

$$C(F)=\{X\in M_n(\mathbb C):FX=XF\}$$

的维数。