设 $F$ 是数域，$V=M_2(F)$。定义

其中 $X^*$ 是 $X$ 的伴随矩阵。

1. 证明 $\mathcal A$ 是 $V$ 上的线性变换；
2. 求 $\mathcal A$ 在基 $E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}$ 下的矩阵，并求一组基使其矩阵为对角阵。