设向量空间 $V$ 上的线性变换 $\mathcal A$ 满足

$$\mathcal A^2=\mathcal A,$$

称 $\mathcal A$ 为投影映射。证明：

(1)$\beta\in\operatorname{Im}\mathcal A$ 当且仅当 $\mathcal A\beta=\beta$；

(2)

$$V=\operatorname{Im}\mathcal A\oplus\ker\mathcal A, \qquad \alpha=\mathcal A\alpha+(\alpha-\mathcal A\alpha);$$

(3)对任意直和分解 $V=V_1\oplus V_2$，存在唯一投影映射 $\mathcal B$ 使

$$V_1=\ker\mathcal B, \qquad V_2=\operatorname{Im}\mathcal B;$$

(4)每个投影映射都有矩阵表示。