设

$$A^T=A,\qquad B^T=-B,\qquad AB=BA,$$

且 $A$ 可逆，令 $C=A^{-1}B$。

(1)证明 $C$ 为反对称矩阵；

(2)设欧氏空间上的线性变换 $\mathcal A$ 为 $\mathcal A\alpha=C\alpha$，证明 $\mathcal A\alpha\perp\alpha$；

(3)证明 $C^2$ 半负定。