设二次型

$$f(x_1,x_2,x_3)=(BX)^T(BX),$$

其中

$$B=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&-1&1\\0&0&a\end{pmatrix}, \qquad X=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix},$$

且 $a\in\mathbb R$。已知该二次型经过可逆线性变换可化为

$$y_1^2+y_2^2+0y_3^2.$$

求 $a$，并求一个正交矩阵 $Q$，使其在正交变换 $X=QY$ 下化为对角形。