设

$$A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3), \qquad B=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta+\alpha_3),$$

其中 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta$ 为四维列向量。方程组 $AX=\beta$ 的通解为

$$X=\xi_0+k\xi, \quad \xi=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}, \quad \xi_0=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}.$$

(1)求 $r(A),r(B)$。

(2)求 $BY=\alpha_1-\alpha_2$ 的通解。