设数域 $P$ 上的 $n$ 阶方阵 $A$ 是指数为 $k$ 的幂零矩阵，其 Jordan 标准形为

$$J=J_{n_1}(0)\oplus\cdots\oplus J_{n_s}(0).$$

(1)证明 $s=n-r(A)$。

(2)证明 $k=\max\{n_1,\ldots,n_s\}$。

(3)利用上述结论求

$$A=\begin{pmatrix}3&6&-15\\1&2&-5\\1&2&-5\end{pmatrix}$$

的 Jordan 标准形。