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P-3948中等Lv.1考研厦门大学高等代数2025考研唯一性多项式整除重根
厦门大学 2025 高等代数 第1题(6)
考研真题
题目正文

设 g(x)=x2−4x+ag(x)=x^2-4x+ag(x)=x2−4x+a。若存在唯一的首一三次多项式 f(x)f(x)f(x)，使 g(x)∣f(x)g(x)\mid f(x)g(x)∣f(x) 且 f(x)∣g2(x)f(x)\mid g^2(x)f(x)∣g2(x)，求 f(x)f(x)f(x)。

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AMTOPA最近修改：AMTOPA · 2026/07/12 10:22题目评分：暂无
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AMTOPALv.42026/07/14 20:20

由g∣fg\mid fg∣f，则f=(x2−4x+a)(x−b)f=(x^2-4x+a)(x-b)f=(x2−4x+a)(x−b).而f∣g2f\mid g^2f∣g2，即

f=(x2−4x+a)(x−b)∣(x2−4x+a)2f=(x^2-4x+a)(x-b)\mid (x^2-4x+a)^2f=(x2−4x+a)(x−b)∣(x2−4x+a)2

因此(x−b)∣(x2−4x+a)(x-b)\mid (x^2-4x+a)(x−b)∣(x2−4x+a)，因此b2−4b+a=0b^2-4b+a=0b2−4b+a=0.由于fff唯一，因此判别式Δ=16−4a=0,a=4,b=2\Delta=16-4a=0,a=4,b=2Δ=16−4a=0,a=4,b=2. f=(x2−4x+4)(x−2)=(x−2)3f=(x^2-4x+4)(x-2)=(x-2)^3f=(x2−4x+4)(x−2)=(x−2)3

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