设 $[0,1]$ 上的连续函数列 $\{f_n\}$ 一致收敛于 $f$。证明：

(1) 对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使所有 $n$ 及满足 $|x-y|<\delta$ 的 $x,y\in[0,1]$ 都有

$$|f_n(x)-f_n(y)|<\varepsilon;$$

(2) 存在 $M>0$，使

$$\sup_{x\in[0,1]}|f_n(x)|\le M$$

对所有 $n$ 成立。