设

$$f_n(x)=nxe^{-n^2x^2},\qquad x\in[0,1],\quad n=1,2,\ldots.$$

证明或判断：

(1) $f_n$ 在 $[0,1]$ 上逐点收敛于 $0$；

(2) $f_n$ 是否在 $[0,1]$ 上一致收敛于 $0$；

(3) $f_n$ 在 $[0,1]$ 上积分平均收敛于 $0$，即

$$\lim_{n\to\infty}\int_0^1|f_n(x)|\,dx=0.$$