设 $f:(0,1)\to\mathbb R$ 满足：存在 $L>0$、$\alpha\in(0,1)$，使对任意 $x,y\in(0,1)$，始终有

(1) 证明 $f$ 在 $(0,1)$ 上连续；

(2) 证明 $f$ 在 $(0,1)$ 上一致连续；

(3) 若满足上述条件的函数称为 $C^\alpha$ 函数，给定 $0<\beta<\alpha$，举出一个 $C^\beta$ 但不是 $C^\alpha$ 的函数。