设 $V$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间，$V_1,V_2$ 是 $V$ 的子空间。

1. 若 $V=V_1\oplus V_2$，证明在 $V$ 上存在唯一的幂等变换 $\mathcal A$($\mathcal A^2=\mathcal A$)，使

$$V_1=\ker\mathcal A,\qquad V_2=\operatorname{Im}\mathcal A.$$

2. 设

$$V_1=\{(x_1,\ldots,x_n)\in P^n:x_1+\cdots+x_n=0\},$$ $$V_2=\{(x_1,\ldots,x_n)\in P^n:x_1=x_2=\cdots=x_n\}.$$

证明 $P^n=V_1\oplus V_2$，并求满足上述核、像条件的幂等变换。