设 $\mathcal A$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的幂等线性变换，即 $\mathcal A^2=\mathcal A$。证明：

(1) $\ker\mathcal A=\{X-\mathcal AX\mid X\in V\}$；

(2) $V=\ker\mathcal A\oplus\operatorname{Im}\mathcal A$；

(3) 设 $\mathcal B$ 是 $V$ 上的另一个线性变换，则 $\ker\mathcal A$ 与 $\operatorname{Im}\mathcal A$ 均为 $\mathcal B$ 的不变子空间，当且仅当 $\mathcal A\mathcal B=\mathcal B\mathcal A$。