设 $B$ 是 $\mathbb R^3$ 中的单位开球，函数 $u\in C^2(B)\cap C(\overline B)$ 满足：

(i) $u$ 是 $B$ 上的非零函数；

(ii) $u|_{\partial B}=0$；

(iii) 存在 $\lambda\in\mathbb R$，使得在 $B$ 上 $\Delta u=\lambda u$。

(1) 证明

$$\int_B|\nabla u|^2\,dx\,dy\,dz+ \lambda\int_Bu^2\,dx\,dy\,dz=0;$$

(2) 证明 $\lambda<0$。