设 $\{b_n\}$ 是严格单调递增且趋于 $+\infty$ 的数列，并且

$$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}=A\in\mathbb R.$$

(1) 证明

$$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=A;$$

(2) 对正整数 $k$，求

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1^k+2^k+\cdots+n^k}{n^{k+1}}.$$