计算题。

(1) 求极限

$$\lim_{n\to+\infty}\left(\frac1{n+1}+\cdots+\frac1{2n}\right).$$

(2) 设

$$I_n=\int_0^{\pi/2}\frac{\sin^2 nx}{\sin x}\,dx,$$

求极限

$$\lim_{n\to+\infty}\frac{I_n}{\ln n}.$$

(3) 设 $f$ 在 $[0,2]$ 上可导，且

$$f(1)=f'(1)=0,\qquad f''(1)=2,$$

求

$$\lim_{x\to1}\frac{x f'(x)}{x f'(x)-f(x)}.$$

(4) 计算第二型曲面积分

$$\iint_S (x+y-2z)\,dy\,dz+(y+z-2x)\,dz\,dx+(z-x+2y)\,dx\,dy,$$

其中 $S$ 是由

$$x^2+y^2=z^2,\qquad z=0,\qquad z=1$$

所围曲面，取外侧为正方向。