(每题 5 分，共 50 分)填空题。

(a)设 $n$ 阶方阵 $A$ 的列分块形式为

$$A=(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n),\qquad \det(A)=1,$$

令

$$B=(\alpha_1-\alpha_2,\ 2\alpha_2-\alpha_3,\ \ldots,\ (n-1)\alpha_{n-1}-\alpha_n,\ n\alpha_n-\alpha_1),$$

求 $\det(B)$。

(b)设

$$A=\begin{pmatrix} 1&-2&0&0\\ 1&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&3&2 \end{pmatrix},$$

求 $A^{-1}$。

(c)设

$$\alpha_1=(a,1,-1,1),\quad \alpha_2=(1,1,b,a),\quad \alpha_3=(1,a,1,-1).$$

当 $a=\underline{\qquad}$ 时，对任意 $b$ 都使得向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 的秩为 $2$。

(d)设 $n$ 阶方阵 $A$ 满足

$$\operatorname{rank}(A)=4,\qquad \operatorname{rank}(A^3)=1,\qquad \operatorname{rank}(A^2)>\operatorname{rank}(A^3),$$

求 $\operatorname{rank}(A^2)$。

(e)设 $\varphi$ 是从 $10$ 维线性空间 $V$ 到 $12$ 维线性空间 $U$ 的线性映射，求

$$\dim\operatorname{Im}\varphi+\dim\ker\varphi.$$

(f)设多项式

$$f(x)=x^5+x^4-x^3+2x^2-x-2,$$

求它在有理数域上的标准分解式。

(g)设 $3$ 阶方阵 $A$ 有 $3$ 个特征值 $-1,-2,-3$，求

$$\det(A+A^*),$$

其中 $A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵。

(h)若 $n$ 阶矩阵 $A$ 的元素全为 $1$，求其极小多项式。

(i)设

$$A=\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&2&0\\ 0&2&2 \end{pmatrix},$$

求其 Jordan 分解式。

(j)设

$$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+kx_2^2+8x_3^2+2x_1x_2+4x_1x_3+4kx_2x_3$$

是正定二次型，求 $k$ 的取值范围。