(15 分)设

$$f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n$$

是数域 $P$ 上的不可约多项式，$\varphi$ 是数域 $P$ 上线性空间 $V$ 的线性变换。若 $V$ 中的非零向量

$$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n$$

满足

$$\varphi(\alpha_i)=\alpha_{i+1}\quad(1\le i\le n-1),$$ $$\varphi(\alpha_n)=-a_n\alpha_1-a_{n-1}\alpha_2-\cdots-a_1\alpha_n,$$

证明 $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n$ 线性无关。