(每题 5 分，共 60 分)填空题。

(1)求极限

$$\lim_{x\to 0^+}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{1/x^2}.$$

(2)设函数 $y=y(x)$ 由方程

$$\ln(xy)=x^2-y^2$$

隐式定义，求点 $(x,y)=(1,1)$ 处的导数

$$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(1,1)}.$$

(3)求定积分

$$\int_0^\pi \frac{dx}{\sqrt2+\sin x}.$$

(4)曲线由参数方程

$$x=t,\qquad y=t^2$$

给出，求该曲线在 $t=1$ 处的曲率。

(5)已知函数

$$f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{xy}{(x^2+y^2)^p},&x^2+y^2\ne 0,\\ 0,&x^2+y^2=0 \end{cases}$$

在 $(0,0)$ 处连续，求 $p$ 的取值范围。

(6)求函数

$$\mu(x,y,z)=xy^2+z^3-xyz$$

在点 $(1,1,2)$ 处沿方向

$$l=\left(\frac12,\frac{\sqrt2}{2},\frac12\right)$$

的方向导数。

(7)计算积分

$$\iint_{\substack{0\le s\le 1\\ s\le t\le \sqrt s}}\frac{\sin t}{t}\,dt\,ds.$$

(8)设 $L$ 为球面

$$x^2+y^2+z^2=4$$

被平面

$$x+y+z=0$$

所截得的圆周，计算积分

$$\int_L x^2\,ds.$$

(9)级数

$$\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1^n+2^n+\cdots+10^n}{n(\ln n)^2}e^{nx}$$

的一致收敛区域为？

(10)如果级数

$$\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{p\ln n}{2n}\right)^n$$

是收敛的，则 $p$ 的取值范围是？

(11)设

$$S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin 2nx}{n},$$

求 $S\!\left(\frac{\pi}{6}\right)$。

(12)求积分

$$\int_0^1\frac1x\ln\frac{1+x}{1-x}\,dx.$$