(1)

计算

$$\lim_{n\to\infty} n^3\left[\sin\left(\tan\frac1n\right)-\sin\frac1n\right].$$

(2)

计算

$$\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{(3n)!}}{n^3}.$$

(3)

计算

$$\lim_{n\to\infty} \left[ \left( \frac{\ln((n+1)!)}{n+1} - \frac{\ln(n!)}{n} \right) \sum_{k=1}^n\sqrt[k]{k^2+\sin k} \right].$$

(4)

计算

$$\lim_{x\to0} \frac{ \left(\sqrt{1+x^2}-\sqrt{\cos x}\right)\tan x^2 }{ \displaystyle\int_{x^2}^{x}\ln(1+t^3)\,dt }.$$

(5)

计算

$$\lim_{n\to\infty} n\int_0^1x^n\ln(1+x)\,dx.$$

(6)

设 $u,v$ 是由

$$\begin{cases} u^2-v=3x+y,\\ u-2v^2=x-2y \end{cases}$$

确定的隐函数，求

$$\frac{\partial u}{\partial x},\qquad \frac{\partial v}{\partial y}.$$

(7)

计算

$$\iiint_D(x^2+y^2+z^2)\,dx\,dy\,dz,$$

其中 $D$ 是两个球

$$x^2+y^2+z^2\le R^2,\qquad x^2+y^2+(z-R)^2\le R^2$$

的公共部分。

(8)

计算第二型曲线积分

$$\int_L \frac{y\,dx+(1-x)\,dy}{(x-1)^2+y^2},$$

其中 $L$ 为圆周

$$x^2+y^2=4,$$

方向取顺时针。