判断下列命题的正误：

(1) 若 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 与 $(b,c)$ 上一致连续，则 $f(x)$ 在

$$(a,b)\cup(b,c)$$

上一致连续。

(2) 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导，且存在 $c\in(a,b)$ 使得

$$f'(c)>0,$$

则存在 $\delta>0$，使得 $f(x)$ 在

$$(c-\delta,c+\delta)$$

上单调递增。

(3) 若 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导，且

$$F'(x)=f(x),$$

则

$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).$$

(4) 若正项级数

$$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$$

收敛，则

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{a_n}}{\sqrt n}$$

收敛。

(5) 若 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处所有方向的极限存在且相等，则

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)$$

存在。