设三维线性空间 $P^3$ 上的线性变换 $\sigma$ 在基

$$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$$

下的矩阵为

$$A= \begin{pmatrix} 1&-1&1\\ 1&3&-1\\ 1&1&1 \end{pmatrix}.$$

设 $\xi$ 在基 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 下的坐标为

$$(1,1,1)^{\mathrm T}.$$

(1) 求 $\sigma(\xi)$。

(2) 求 $\sigma$ 的特征值和特征向量。

(3) 判断是否存在 $P^3$ 的一组基，使得 $\sigma$ 在该基下的矩阵为对角矩阵。