考研真题

设连续函数 $f$ 有上界或下界，且 $f(x)+a{\int }_{x-1}^{x}f(t)dt$ 为常数($a>0$)。证明 $f$ 为常数。

设 $f$ 在 $(0,\infty )$ 一致连续，且对每个固定 $x>0$，$f(x+{\lambda }_n)\to 0$。证明在任意 $[a,b]\subset (0,\infty )$ 上一致收敛。

设对每个 $x\in \mathbb{R}$，存在 ${\delta }_x>0$，使所有 $x_1\in (x-{\delta }_x,x)$、$x_2\in (x,x+{\delta }_x)$ 都有 $f(x_1)>f(x)>f(x_2)$。证明 $f$ 严格递减。

设 $u$ 二阶偏导连续，满足 $u_{xx}-u_{yy}=0,u(x,2x)=x,u_x(x,2x)=x^2.$ 求 $u_{xx},u_{xy},u_{yy}$ 在 $(x,2x)$ 处的值。

计算 ${\lim }_{x\to 0}\frac{1+\cos x-\cos x\cos (2x)-\sqrt[3]{\cos x}}{\ln (1-x)+\ln (1+x)}.$

复内积空间 $V$ 上是否存在非零线性变换 $\phi$，使对所有 $x\in V$ 都有 $⟨\phi x,x⟩=0$？