考研真题

验证 $y(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{x^{3n}}{(3n)!}$ 满足 $y^{\prime \prime }+y^{\prime }+y=e^x$，并求闭式。

设 $\zeta (x)={\sum }_{n=1}^{\infty }{n}^{-x}$。证明它在 $(1,\infty )$ 任意阶可导，并判断 ${\int }_1^{\infty }(\zeta (x)-1)dx$ 的敛散性。

已知 $f\in C[0,1]$，在 $(0,1)$ 二阶可导，$f(0)=f(1)=0$，$f(1/2)=1/4$。证明存在 $\xi \in (0,1)$ 使 $f^{\prime \prime }(\xi )=-2$。

求 $\sin \ln x$ 在 $x=1$ 处带 Peano 余项的四阶 Taylor 展开。

求曲面 $z=xy$ 在 $x^2+y^2\le 1$ 上方部分的面积。

计算 ${\int }_0^{\infty }{\left(\frac{x^2}{1+x^4}\right)}^{2}dx.$

设 $T:V\to V$ 是欧氏空间上的正规算子。 (1) 证明 $T$ 的伴随算子的核空间与 $T$ 的核空间相等； (2) 若 $T^2=T$，证明 $T$ 必为对称算子。

设 $T$ 是实数域上 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换，$n>1$，且 $T^3=T.$ (1) 证明 $T$ 可对角化； (2) 若 $T$ 在 $V$ 的任意一组基下的表示矩阵都相同，证明该矩阵只能是 $E_n$、$-E_n$ 或零矩阵。