若 $n$ 是正整数，$f(x)=x^{n+1}+2x+6$⁠。

1. 证明 $f$ 在有理数域上不可约；
2. 写出数域 $F$ 上所有满足

的多项式 $g(x)$⁠； 3. 若 $x_1,\ldots,x_{n+1}$ 是 $f$ 的全部复根，求 $\sum x_i^2$⁠； 4. 若方阵 $A$ 的特征多项式为 $f$⁠，复数 $a$ 满足 $|a|\ge7$⁠，证明 $aI_{n+1}-A$ 可逆。