保研夏令营真题

(10 分)【仅限统计学专业】若 $\{X_n\}$ 为独立随机变量序列，具有相同分布 $\mathbb{P}\{X_n=1\}=\frac{1}{2},\mathbb{P}\{X_n=0\}=\frac{1}{2}.$ 证明： $Y_n={\sum }_{k=1}^n\frac{X_k}{2^k}\stackrel{\mathcal{L}}{\to }U(0,1).$

(10 分)【仅限数学专业】求 $\mathbb{R}$ 上的自同构群。

(10 分)【仅限数学专业】设 $f(x)\in L^1(\mathbb{R})$，正项级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 收敛。证明： ${\lim }_{n\to \infty }f\left(\frac{x}{a_n}\right)=0,\text{a.e. }x\in \mathbb{R}.$

(15 分)若 $A$ 为 3 阶方阵，满足 $|A|=18$，$3A+A^{\ast }=15I_3$。 (1)求 $A$ 的极小多项式。 (2)求 $A$ 的 Jordan 标准型。

(15 分)设矩阵 $A\in {\mathbb{K}}^{m\times s}$，$B\in {\mathbb{K}}^{s\times n}$，$r(B)=s$。证明： (1)存在 $C\in {\mathbb{K}}^{n\times s}$，使得 $BC=I_s$。 (2)$r(AB)=r(A)$。

(10 分)若 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 收敛，其中 $a_n>0$，$0<\alpha ,\beta <1$，$\alpha +\beta >1$，证明级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{a_n^{\alpha }}{n^{\beta }}$ 收敛。

(10 分)若 $f(x)\in C^2[0,1]$，$f^{\prime }(0)=0$，$|f^{\prime \prime }(x)|\le |f(x)-f(0)|$。证明：$f(x)$ 在 $[0,1]$ 上为常值函数。

(10 分)若 $f\in C^1[a,b]$，$f(a)=0$。证明： ${\int }_a^b{f}^2(x)\mathrm{d}x\le \frac{(b-a{)}^2}{2}{\int }_a^b[f^{\prime }(x){]}^2\mathrm{d}x-\frac{1}{2}{\int }_a^b[f^{\prime }(x){]}^2(x-a{)}^2\mathrm{d}x.$

(10 分)已知 $f(x)\in C[a,b]$，且有 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{b}xf(x)\mathrm{d}x=0.$ 证明：在 $(a,b)$ 上至少存在两点 $x_1,x_2$，使得 $f(x_1)=f(x_2)=0$。