根据定义，存在$N,n>N$时有$\frac{u_n}{u_{n+1}}-1>\frac{1}{4n}>0$，因此$n$充分大后$u_n$单调递减，而又有下界$0$，因此有极限，设为$L$.若$L>0$，注意到

而$\sum_{n=1}^{\infty}(u_n-u_{n+1})$收敛，但$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{L}{2n}$发散矛盾！故$L=0$即$u_{n}$单调递减趋于$0(n>N)$时.由莱布尼兹判别法知$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_n$收敛.