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(15 分)设 $A=(a_{ij}{)}_{n\times n}\in M_n(\mathbb{R})$ 是正定对称矩阵，其对角元 $a_{ii}$ 及特征值 ${\lambda }_i$ 满足...

(15 分)设 $A=\left(\begin{array}{ccc}4& -15& 6\\ 1& -4& 2\\ 1& -5& 3\end{array}\right)\in M_3(\mathbb{C}).$ 求 $A$ 的 Jordan 标准形 $J$ 及 $A$ 的最小多项式 $g(\lambda )$。

(15 分)设 $A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right),$ 求正交矩阵 $P$ 及对角矩阵 $D$，使得 $P^{T}AP=D.$

(15 分)实矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& -4\\ -2& x& -2\\ -4& -2& 1\end{array}\right)$ 与对角阵 $\Lambda =\mathrm{diag}\{5,-4,y\}$ 相似，求 $x,y$ 的值。

(15 分)下面行列式 $d(x)=\left|\begin{array}{cccc}2x& x& 1& 2\\ 1& x& 1& -1\\ 3& 2& x& 1\\ 1& 1& 1& x\end{array}\right|$ 中 $x^k$ 的系数记为 $a_k$，求 $a_2$ 及 $a_3$。