考研真题

计算题。 (1) 求极限 ${\lim }_{n\to \infty }\left(\ln n-{\sum }_{k=1}^n\frac{\ln k}{n}\right).$ (2) 求极限 ${\lim }_{x\to 0}\frac{(1+x{)}^x-\cos \frac{x}{2}}{x\left(\sin x-\sin \frac{x}{2}\right)}.$ (3)...

解方程组 $\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=-4x-2y+\frac{2}{e^t-1},\\ y^{\prime }=6x+3y-\frac{3}{e^t-1},\end{array}$ 其中 $x,y$ 是关于 $t$ 的函数。

解方程 $y=x\left(y^{\prime }+\sqrt{1+y^{\prime 2}}\right).$

解方程 $y^{3}dx+2(x^2-x{y}^2)dy=0,y(1)=1.$

已知对称矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}{A}_{11}& A_{12}\\ A_{21}& A_{22}\end{array}\right),$ 其中 $A_{11}$ 是方阵，证明以下条件等价： (1) $A$ 正定。 (2) $A_{11}$ 与 $A_{22}-A_{12}^T{A}_{11}^{-1}{A}_{12}$ 都正定。...

已知线性方程组 $\{\begin{array}{l}\lambda x_1+x_2+x_3=-3,\\ x_1+\lambda x_2+x_3=-3,\\ x_1+x_2+\lambda x_3=-3.\end{array}$ 当 $\lambda$ 为何值时，方程组无解、有解？有解时求通解。

已知球面 $\Gamma :x^2+y^2+z^2=a^2(a>0),$ 球面 $\Sigma$ 的球心在 $\Gamma$ 上，半径为 $R$。当 $R$ 为何值时，球面 $\Sigma$ 位于 $\Gamma$ 内的面积取最大值？并求出最大面积。