考研真题

(20 分)设 $f(x)$ 是定义在 $[0,1]$ 上的连续可微函数，且满足 $f(0)=0,f(1)=1.$ 证明： ${\int }_0^1|f(x)-f^{\prime }(x)|dx\ge \frac{1}{e}.$

已知 $J$ 是所有元素为 $1$ 的 $n$ 阶矩阵， $f(x)=a+bx$ 是有理系数多项式，且 $A=f(J).$ (1) 求 $J$ 的所有特征值及特征向量。 (2) 求 $A$ 的所有特征子空间。 (3) 判断 $A$ 是否可以对角化？即是否存在可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP$...

已知 $x=yz$，求行列式 $D_n=\left|\begin{array}{ccccc}1+x& z& & & \\ y& 1+x& z& & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & y& 1+x& z\\ & & & y& 1+x\end{array}\right|.$

计算 ${\iint }_D\sqrt{|y-x^2|}dxdy,D=\{(x,y)\mid x^2\le y\le 2\}.$ 核查说明：第 7 题与第 6(2) 在当前页面上完全重复，疑似原 PDF 排版重复或漏题。

设 $z=z(x,y)$ 二阶连续可微，求 $a$ 的值，使得通过 $u=x+3y,v=x+ay$ 将 $6z_{xx}+z_{xy}-z_{yy}=0$ 化为 $z_{uv}=0.$

解答如下问题： (1) 若 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}=a,$ 则 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=a.$ (2) 若 $f(x)$ 在 $[a,+\infty )$ 上可导，且...

判断题。正确的给出证明，错误的给出反例。 (1) 任何数列都有单调的子列。 (2) 若级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }(a_{3n-2}+a_{3n-1}+a_{3n})$ 收敛，且 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=0,$ 则 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 收敛。 (3) 设 $f(x)$...