考研真题

设 $D\subset {\mathbb{R}}^2$ 由 $x^2+y^2=2y$ 和 $y\ge 1$ 围成，计算二重积分 ${\iint }_D\frac{2y-y^2-x^2}{y}dxdy.$

计算曲线积分 ${\oint }_L(y^2+z^2)dx+(z^2+x^2)dy+(x^2+y^2)dz,$ 其中曲线 $L$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=1,x\ge 0,y\ge 0,z\ge 0$ 在第一卦限部分的边界，它的定向使得球面的上侧在曲线左侧。

若 $\{a_n\}$ 收敛当且仅当对任给的正整数 $p$，有 ${\lim }_{n\to \infty }|a_{n+p}-a_n|=0.$ 此命题是否正确？为什么？

计算极限 ${\lim }_{x\to \infty }{\int }_0^x\max (1,y){\sin }^2(xy)dy.$