设 $\mathcal A$ 为数域 $\mathbb F$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，令

$V_1=\{\alpha\in V$:\text{存在正整数 }r\text{ 使 }\mathcal A^r\alpha=0\},

证明：

(1) $V_1,V_2$ 都是 $\mathcal A$ 的不变子空间；

(2) $\mathcal A|_{V_1}$ 是幂零变换；

(3) $\mathcal A|_{V_2}$ 是可逆变换；

(4) $V=V_1\oplus V_2$⁠。