设 $V$ 是 $n$ 维复向量空间，$n\ge2$⁠，$\sigma,\tau$ 是 $V$ 上的线性变换。假设 $\sigma$ 可对角化，$\tau$ 是幂零变换，且

(1) 证明 $\sigma$ 与 $\sigma+\tau$ 的特征多项式相同；

(2) 证明：$\tau$ 与 $\sigma+\tau$ 的极小多项式的次数相等，当且仅当存在复数 $a$⁠，使对任意 $u\in V$⁠，均有 $\sigma(u)=au$⁠。