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首页考研真题重庆大学 2025 数学分析 第6题
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P-4241困难Lv.2考研数学分析重庆大学2025考研内闭一致收敛含参反常积分一致Cauchy准则一致Dirichlet判别
重庆大学 2025 数学分析 第6题
来源：kaoyan-final-20260712:2025-math-major-exams::重庆大学::2025::数学分析::6 | SOURCE_MATERIALS/2025年数学专业考研真题.pdf | pages 93,94
考研真题

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题目正文

解答下列问题：

  1. 证明含参变量 yyy 的广义积分
∫0+∞e−xysin⁡xx dx\int_0^{+\infty}e^{-xy}\frac{\sin x}{x}\,dx∫0+∞​e−xyxsinx​dx

在 [0,+∞)[0,+\infty)[0,+∞) 上一致收敛； 2. 证明在 (0,+∞)(0,+\infty)(0,+∞) 上，含参变量 yyy 的广义积分

∫0+∞e−xysin⁡x dx\int_0^{+\infty}e^{-xy}\sin x\,dx∫0+∞​e−xysinxdx

不一致收敛，但内闭一致收敛； 3. 利用第(1)和第(2)问的结论计算 Dirichlet 积分

∫0+∞sin⁡xx dx;\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\,dx;∫0+∞​xsinx​dx;
  1. 利用第(3)问的结论证明
∫0+∞[∫0+∞sin⁡xsin⁡(x+y)x(x+y) dy]dx=π28.\int_0^{+\infty}\left[\int_0^{+\infty} \frac{\sin x\sin(x+y)}{x(x+y)}\,dy\right]dx =\frac{\pi^2}{8}.∫0+∞​[∫0+∞​x(x+y)sinxsin(x+y)​dy]dx=8π2​.

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AMTOPA最近修改：AMTOPA · 2026/07/12 10:22题目评分：暂无
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中等相似度 54/100郑州大学 2024 数学分析 10.1含参反常积分一致Dirichlet判别中等相似度 52/100南京师范大学 2024 数学分析 10含参反常积分一致Dirichlet判别 ≈ 一致Dirichlet判别法中等相似度 51/100湘潭大学 2024 数学分析 5含参反常积分中等相似度 42/100华中师范大学 2024 数学分析 第6题含参反常积分一致Cauchy准则中等相似度 40/100华南理工大学 2024 数学分析 10含参反常积分一致Dirichlet判别困难Lv.2相似度 39/100哈尔滨工业大学 2025 数学分析 第9题一致Dirichlet判别 ≈ 一致Dirichlet判别法