判断下列命题的正误；正确的给出证明，错误的给出反例。

1. 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty}x_n$ 收敛，则级数

也收敛； 2. 若连续函数列 $\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$ 在 $[0,1]$ 上逐点收敛于连续函数 $f(x)$⁠，则 $f_n$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛于 $f$⁠； 3. 若函数 $f(x),g(x)$ 都在 $[0,+\infty)$ 上一致连续，且 $g(x)$ 以 $x$ 轴为水平渐近线，则 $f(x)g(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续。