题库浏览

设 $P^2=P$。证明 $P$ 是某子空间上的正交投影当且仅当 $P$ 自伴。

设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 1& 1& -1\end{array}\right).$ 求奇异值及一个奇异值分解。

设实三阶矩阵 $A,B$ 满足 $\det A=\det B=\det (A+B)=\det (A-B)=0.$ 证明任意实数 $x,y$ 都有 $\det (xA+yB)=0$。

线性算子在基 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_4$ 上满足 $\phi ({\alpha }_1)=5{\alpha }_1,\phi ({\alpha }_2)=5{\alpha }_2,\phi ({\alpha }_3)=3{\alpha }_1+2{\alpha }_2+5{\alpha }_3,\phi ({\alpha }_4)=6{\alpha }_4.$ ...

设连续函数 $f$ 有上界或下界，且 $f(x)+a{\int }_{x-1}^{x}f(t)dt$ 为常数($a>0$)。证明 $f$ 为常数。

设 $f$ 在 $(0,\infty )$ 一致连续，且对每个固定 $x>0$，$f(x+{\lambda }_n)\to 0$。证明在任意 $[a,b]\subset (0,\infty )$ 上一致收敛。

设对每个 $x\in \mathbb{R}$，存在 ${\delta }_x>0$，使所有 $x_1\in (x-{\delta }_x,x)$、$x_2\in (x,x+{\delta }_x)$ 都有 $f(x_1)>f(x)>f(x_2)$。证明 $f$ 严格递减。

设 $u$ 二阶偏导连续，满足 $u_{xx}-u_{yy}=0,u(x,2x)=x,u_x(x,2x)=x^2.$ 求 $u_{xx},u_{xy},u_{yy}$ 在 $(x,2x)$ 处的值。

计算 ${\lim }_{x\to 0}\frac{1+\cos x-\cos x\cos (2x)-\sqrt[3]{\cos x}}{\ln (1-x)+\ln (1+x)}.$