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复内积空间 $V$ 上是否存在非零线性变换 $\phi$，使对所有 $x\in V$ 都有 $⟨\phi x,x⟩=0$？

验证 $y(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{x^{3n}}{(3n)!}$ 满足 $y^{\prime \prime }+y^{\prime }+y=e^x$，并求闭式。

设 $\zeta (x)={\sum }_{n=1}^{\infty }{n}^{-x}$。证明它在 $(1,\infty )$ 任意阶可导，并判断 ${\int }_1^{\infty }(\zeta (x)-1)dx$ 的敛散性。

已知 $f\in C[0,1]$，在 $(0,1)$ 二阶可导，$f(0)=f(1)=0$，$f(1/2)=1/4$。证明存在 $\xi \in (0,1)$ 使 $f^{\prime \prime }(\xi )=-2$。

求 $\sin \ln x$ 在 $x=1$ 处带 Peano 余项的四阶 Taylor 展开。

求曲面 $z=xy$ 在 $x^2+y^2\le 1$ 上方部分的面积。