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设 $T:V\to V$ 是欧氏空间上的正规算子。 (1) 证明 $T$ 的伴随算子的核空间与 $T$ 的核空间相等； (2) 若 $T^2=T$，证明 $T$ 必为对称算子。

设 $T$ 是实数域上 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换，$n>1$，且 $T^3=T.$ (1) 证明 $T$ 可对角化； (2) 若 $T$ 在 $V$ 的任意一组基下的表示矩阵都相同，证明该矩阵只能是 $E_n$、$-E_n$ 或零矩阵。

设 $V$ 为 $n$ 维线性空间，V^ 为其对偶空间，W\subseteq V^ 是 $r$ 维子空间。定义消去子空间 $W^{\perp }=\{v\in V:l(v)=0,\forall l\in W\}.$ 证明 $\dim W^{\perp }=n-r.$

将二次型 $n{\sum }_{i=1}^n{x}_i^2-{\left({\sum }_{i=1}^n{x}_i\right)}^2$ 化为标准形，并求其秩。

设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，向量 $e_1,e_2,\dots ,e_n$ 能线性表示 $V$ 中的任意向量。证明 $e_1,e_2,\dots ,e_n$ 是 $V$ 的一组基。

设 $A=\left(\begin{array}{cc}0& \sqrt{2}\\ 1& 0\end{array}\right),\mathbb{Q}[A]=\{f(A):f(x)\in \mathbb{Q}[x]\}.$ 证明 $\mathbb{Q}[A]$ 中的每个非零矩阵都可逆。

设 $f(x_1,\dots ,x_n)$ 为交错多项式。证明： (1) 对任意 $i\ne j$，$x_i-x_j\mid f$； (2) Vandermonde 多项式 $\Delta ={\prod }_{1\le i<j\le n}(x_i-x_j)$ 为交错多项式； (3) 存在对称多项式 $g$，使 $f=g\Delta$。

证明自然数 $e$ 为无理数。