考研真题

(15 分)设 $A=\left(\begin{array}{ccc}4& -15& 6\\ 1& -4& 2\\ 1& -5& 3\end{array}\right)\in M_3(\mathbb{C}).$ 求 $A$ 的 Jordan 标准形 $J$ 及 $A$ 的最小多项式 $g(\lambda )$。

(15 分)设 $A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right),$ 求正交矩阵 $P$ 及对角矩阵 $D$，使得 $P^{T}AP=D.$

(15 分)实矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& -4\\ -2& x& -2\\ -4& -2& 1\end{array}\right)$ 与对角阵 $\Lambda =\mathrm{diag}\{5,-4,y\}$ 相似，求 $x,y$ 的值。

(15 分)下面行列式 $d(x)=\left|\begin{array}{cccc}2x& x& 1& 2\\ 1& x& 1& -1\\ 3& 2& x& 1\\ 1& 1& 1& x\end{array}\right|$ 中 $x^k$ 的系数记为 $a_k$，求 $a_2$ 及 $a_3$。

(15 分)计算积分 $I(b)={\int }_0^{\pi /2}\frac{dx}{b+\tan x},b>0.$

(每题 5 分，共 60 分)填空题。 (1)求极限 ${\lim }_{x\to 0^{+}}{\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^{1/x^2}.$ (2)设函数 $y=y(x)$ 由方程 $\ln (xy)=x^2-y^2$ 隐式定义，求点 $(x,y)=(1,1)$ 处的导数...