考研真题

求函数项级数 \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nx}{2^n} \qquad\text{和}\qquad \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n2^n}\sin^2\frac{nx}{2} 的和函数。

令 $f(x)={\sum }_{n=2}^{\infty }\frac{1}{(n\ln n{)}^x}.$ 证明 $f$ 在 $(1,+\infty )$ 上连续可微。

设 $\Omega$ 为 ${\mathbb{R}}^n$ 中的有界区域，函数 $f$ 在 $\overline{\Omega }$ 上连续。对满足 $U\subseteq \Omega$ 的任意开集 $U$，像集 $f(U)=\{f(x):x\in U\}$ 都是 $\mathbb{R}$ 的开子集。证明...

设 $L$ 为闭区域 $D=\{(x,y):0\le x\le 1,x^3\le y\le \sqrt[3]{x}\}$ 的边界，取逆时针方向。计算 $I={\int }_L(x^{3}y+e^y+\ln (e^x+e^y))dx+(2x-2y+x{y}^3+x{e}^y)dy.$

设常数 $a>0$，计算 ${\int }_1^{+\infty }\frac{\cos (\ln x)}{x^{a+1}}dx.$

完成下列填空： (1) 设 $v=(-1,1,0)$、$w=(1,1,1)$，求 $v\times (v\times (v\times (v\times w))).$ (2) 求两直线...

设 $A$ 正定对称，证明 $({\alpha }^T\beta {)}^2\le ({\alpha }^{T}A\alpha )({\beta }^T{A}^{-1}\beta )$ 并判定等号。

线性映射 $T:M_n(\mathbb{R})\to M_n(\mathbb{R})$，$T(X)=(X+X^T)/2$。求核与秩。

设 $A=\left(\begin{array}{cccc}1& -1& 0& 2\\ 2& 0& 2& 1\\ 3& 1& 4& 0\end{array}\right).$ 求方程 $(x_1,x_2,x_3,x_4)A^{T}A\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{array}\right)=0$ 的全部实解。