考研真题

设 $A=J_3(\lambda )$。证明与 $A$ 可交换的每个三阶矩阵都是 $A$ 的多项式。

设向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性无关，且 ${\beta }_1=2{\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3,{\beta }_2=-{\alpha }_1+3{\alpha }_2+4{\alpha }_3,{\beta }_3={\alpha }_1+{\alpha }_3.$ 判断...

设 $n\ge 2$，求行列式 $D_n=\left|\begin{array}{cccc}{a}_1+b_1& a_1+b_2& \cdots & a_1+b_n\\ a_2+b_1& a_2+b_2& \cdots & a_2+b_n\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_n+b_1& a_n+b_2& \cdots & a_n+b_n\end{array}\right|,$ ...

证明曲面 $\cos (3x+2z)=h(4y-z)$ 是柱面。

计算曲线积分 $I={\int }_L\frac{(x-y)dx+(x+4y)dy}{x^2+4y^2},$ 其中 $L$ 从 $(1,0)$ 沿上半圆 $x^2+y^2=1$ 到 $(-1,0)$。

设 $f$ 是 $[0,+\infty )$ 上的连续函数，并满足 $f(t)=t+\frac{1}{4\pi }{\iiint }_{x^2+y^2+z^2\le t^2}\frac{f(\sqrt{x^2+y^2+z^2})}{x^2+y^2+z^2}dxdydz,t\ge 0.$ 求 $f$。

设 $\delta \in [0,+\infty )$，讨论 $f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sin (x^{1+\delta }y)}{x^2+y^2},& (x,y)\ne (0,0),\\ 0,& (0,0),\end{array}$ 在原点的连续性与可微性。

计算 ${\int }_1^{\infty }\frac{\{x\}}{x^3}dx.$

设 $f$ 在 $[1,\infty )$ 非负单调递减。证明 ${\sum }_{k=1}^{n}f(k)-{\int }_1^{n}f(x)dx$ 收敛。

设 $f(x)={\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{\cos nx}{\sqrt{n^3+n}}.$ 证明： (1) $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续； (2) $\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{15}<{\int }_0^{\pi /2}f(x)dx<\frac{\sqrt{2}}{2}.$

计算极限 ${\lim }_{x\to +\infty }{x}^2\left[{\left(\frac{3x^3-7}{3x^3-x}\right)}^{1/5}-x\sin \frac{1}{x}\right].$

设函数 $f:\mathbb{R}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}$，且对任意 $a\in \mathbb{R}$ 都有 $f(0,a)\le f(0,0)\le f(a,0).$ 证明...