考研真题

设 $x_1=1$，$x_{n+1}=\frac{1}{1+x_n}$。证明数列收敛并求极限。

计算极限： $(1){\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n!}{\sum }_{k=1}^{n}k!,(2){\lim }_{x\to 0^{+}}x\ln \left(e^{a/x}+e^{b/x}\right).$

设 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上二阶可微。证明：对任意 $a,b\in \mathbb{R}$、$t\in (0,1)$，存在 $\xi \in \mathbb{R}$ 使 $f((1-t)a+tb)=(1-t)f(a)+tf(b)-\frac{f^{\prime \prime }(\xi )}{2}t(1-t)(b-a{)}^2.$

证明存在 $f\in C^1(\mathbb{R})$，使 $f(x)$ 在 $(-\infty ,1)$ 上恒为 $0$，在 $(2,+\infty )$ 上恒为 $1$。

求椭球面 $x^2+2y^2+3z^2=1$ 与坐标平面 $xOy$ 围成区域的体积。

设 $D=\{(x,y):x^2+y^2\le 1\},$ 且 $H$ 在 $D$ 上调和，即 $H_{xx}+H_{yy}=0$。若 $H(x,y)=1((x,y)\in \partial D),$ 证明 $H\equiv 1$ 于 $D$。