保研夏令营真题

设矩阵 $A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4)$，其中 ${\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 线性无关，且 ${\alpha }_1=2{\alpha }_2+{\alpha }_3-{\alpha }_4,\beta ={\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3+{\alpha }_4.$ ...

设函数 $f(x)\in C[a,b]$，若有数列 $\{x_n\}\subset [a,b]$，使得 ${\lim }_{n\to \infty }f(x_n)=A,$ 证明：存在 $\xi \in [a,b]$，使得 $f(\xi )=A$。

证明不等式： $\frac{|a+b|}{1+|a+b|}⩽\frac{|a|}{1+|a|}+\frac{|b|}{1+|b|}.$

判断矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 2\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$ 是否可对角化。

记 ${\mathbb{R}}^{+}=\{a\in \mathbb{R}\mid a>0\},$ 定义加法和数乘为 $a\oplus b=ab,k\odot a=a^k.$ 此时 ${\mathbb{R}}^{+}$ 构成 $\mathbb{R}$ 上的线性空间，试求该空间的维数和一组基。